Nascut a Terrassa el 1.929, des de jove ja va tenir afició pel teatre i als 18 anys ja actuava a la secció de teatre del Centre Parroquial de Sant Pere. Pels volts de les festes de Nadal de 1.947, aquest elenc teatral va representar unes escenes de "Los pastorcillos de Belén" als estudis de l'emissora, on Anselm Marcet interpretava a Satanàs. Joan Llenas, que, recentment, havia creat el Quadre Escènic de l'emissora, era aquell dia al seu domicili i va sentir la interpretació per la ràdio. Va ser tal l'impacte que li va produir, que immediatament, va anar a l'emissora i va oferir a Marcet de formar part del Quadre Escènic. Així, al mes següent, al Gener de 1.948, Anselm Marcet va debutar en el radioteatre enla representació de "La puntaire", en la que feia dos papers diferents, el de Xivi i el de Mossèn Ramon. Després va intervenir en moltes altres obres, sempre interpretant personatges de caràcter que eren molt adients pel seu timbre de veu. D'ençà de 1.953, també va compaginar les tasques d'actor amb les de locutor de l'emissora, intervenint en programes comercials de tota mena i presentant l'històric espai sardanista "Contrapunt", que llavors escrivia i dirigia Francesc Izquierdo. Al 1965, per la imcompatibilitat que li suposava la ràdio amb la seva feina habitual, va abandonar la plaça de locutor, però sense renunciar al radioteatre.
Al 1982, en la nova etapa del Quadre de Veus de Radioteatre, torna a formar part de l'elenc de veus. Torna a participar en moltes obres de teatre i representa nombrosos personatges, sempre adients al seu timbre de veu característic. D'aquests anys, en destaquen per exemple, "A mitad de camino" de Peter Ustinov, "Ball robat" de Joan Oliver, "Calígula" d'Albert Camus, "Cobardias" de Manuel Linares Rivas, "Don Juan Tenorio" de José Zorrilla, "Dotze homes sense pietat" de Reginald Rose, "El león en invierno" de James Goldman, "El pati blau" de Santiago Rusiñol, "L'hostal de la Glòria" de Josep Maria de Sagarra, "Les precioses ridícules" de Molière o "Petra Regalada" de Antonio Gala, entre moltes d'altres.
A banda de la vessant radiofònica, la seva trajectòria està marcada per l'activitat teatral en escena que ha desenvolupat en el Centre Parroquial de Sant Pere durant un ampli període de la seva vida. En aquesta mateixa entitat, també va impulsar l'activitat sardanista a la dècada de 1.950.
El 1990, intervingué en la pel·lícula "La teranyina" , dirigida pel director terrassenc Antoni Verdaguer i basada en la novel·la del també terrassenc Jaume Cabré, en la que hi apareixien actors de renom com , per exemple, Fernando Guillén, Sergi Mateu, Ramón Madaula, Amparo Soler Leal, Jordi Dauder, Alfred Luchetti, Ovidi Montllor, Joan Borràs, o els també terrassencs Rosa Aguado, Lluís Baron, Pep Pla, Jaume Bernet o Josep Maria Casanovas.
Tota aquesta trajectòria artística li fou reconeguda el 1.991, quan fou nomenat Terrassenc de l'any  El 1.999, en commemoració dels seus cinquanta anys davant els micròfons, rebè un càlid homenatge per part dels companys de l'emissora.
Marcet moria el mes de Novembre de l'any 2.005.